فصل ۱ : مجموعه، الگو و دنباله

 

  1. درس اوّل: مجموعه های متناهی و نامتناهی
  2. درس دوم: متمم یک مجموعه
  3. درس سوم: الگو و دنباله
  4. درس چهارم: دنباله های حسابی و هندسی

 

یکی از اساسی ترین مفاهیم ریاضی « مجموعه » است که بسیاری از نظریه های دیگر ریاضی در یک قرن اخیر بر مبنای آن پایه گذاری یا سازماندهی شده اند. مطالعات جدی درباره ی مجموعه ها با کار جورج کانتور در سال ۱۸۷۰ آغاز شده است.

 

مجموعه های اعداد
انسان در طول تاریخ برحسب نیاز خود از مجموعه های مختلف اعداد استفاده کرده است. برخی از این مجموعه ها که در سال های قبل با آنها آشنا شدیم، به شرح زیرند:

 

مجموعه اعداد طبیعی : { … ,N =   { ۱, ۲ , ۳, ۴

مجموعه اعداد حسابی :   {… ,W = {0, 1, 2 , 3, 4

مجموعه اعداد صحیح : {… , Z = { … , -۲, -۱, ۰, ۱ , ۲, ۳

مجموعه اعداد گویا :Q = اعداد کسری که مخرج شان صفر نباشد.
مجموعه اعداد گنگ :Q′ =مجموعه اعدادی که نتوان آنها را به صورت نسبت دو عدد صحیح نمایش داد.
مجموعه اعداد حقیقی : IR = Q ∪ Q

 

همان طور که ملاحظه می شود رابطه ی زیرمجموعه بودن بین این مجموعه ها به شکل N ⊆ W⊆ Z ⊆ Q ⊆ R  برقرار است. به عبارت دیگر تمام مجموعه های اعدادی که تاکنون  با آنها آشنا شده ایم، زیرمجموعه هایی از اعداد حقیقی اند. در نتیجه، هر عدد دلخواهی را که درنظر بگیریم، باید جایی روی محور اعداد حقیقی داشته باشد و همچنین هر نقطه روی این محور نشان دهنده ی یک عدد حقیقی مشخص است.

 

درس اول: مجموعه های متناهی و نامتناهی

زیر مجموعه ای که مشخص کننده ی یک قطعه از محور اعداد حقیقی باشد را  «بازه»  یا  «فاصله» می نامیم.

 

بازه هایی که شامل نقاط ابتدایی و انتهایی خود باشند را بازه بسته می گویند.

بازه هایی که شامل نقاط ابتدایی و انتهایی خود نباشند را بازه باز می گویند.

بازه هایی که تنها شامل یکی از نقاط انتهایی خود می باشد را بازه های نیم باز می نامیم.

 

مجموعه هایی مانند A را که تعداد اعضای آنها یک عدد حسابی است، مجموعه های متناهی می نامیم.

 

مجموعه هایی که تعداد اعضای آن مجموعه از هر عددی که در نظر بگیریم، بزرگ تر باشد. چنین مجموعه هایی را مجموعه های نامتناهی می نامیم.

 

جنگل های آمازون

آمازون که به ریه های زمین مشهور است، جنگل بسیار بزرگی در شمالِ آمریکای جنوبی است و به دلیل همین وسعت، به آن جنگل های آمازون گفته می شود. حدود ۶۰ درصد این جنگل در خاک برزیل قرار
دارد، همچنین بخش هایی از آن هم در کشورهای پرو، اکوادور، گویان، کلمبیا، ونزوئلا، بولیوی و سورینام واقع شده است. در واقع این جنگل بیش از سه برابر خاک کشور ما وسعت دارد. رودخانه ی آمازون با
طول حدود ۶۵۰۰ کیلومتر به عنوان پرآب ترین رودخانهٔ دنیا که ۵ درصد آب شیرین جهان را در خود جای می دهد، نیز از دل این جنگل عبور می کند. نتیجهٔ یک مطالعه بزرگ که مدت ۱۰ سال به طول انجامید، نشان می دهد که ۰۰۰/۰۰۰/۰۰۰/ ۳۹۰ اصله درخت در ۱۶۰۰۰ گونه ی مختلف در جنگل های آمازون وجود دارد. با این حساب سهم هر فرد دنیا از این جنگل چند درخت می شود؟! با وجود این، مجموعه درخت های جنگل های آمازون یک مجموعه متناهی محسوب می شود یا نامتناهی؟

 

تذکر:

تعداد اعضای برخی از مجموعه های متناهی ممکن است بسیار زیاد باشد؛ با این حال با داشتن امکانات لازم و صرف وقت کافی ممکن است بتوان تعداد آنها را به دست آورد.

 

 

مقاله را پرینت بگیرید یا اگر می پسندید در شبکه های اجتماعی انتشار دهید