اعداد حقیقی

فصل دوم ریاضی نهم

 

اعداد حقیقی

  • درس اول : اعداد گویا
  • درس دوم : اعداد حقیقی
  • درس سوم : قدر مطلق و محاسبه ی تقریبی

 

غیاث الدین جمشید کاشانی زبردست ترین حسابدان، برجسته ترین ریاضی دان و از بزرگ ترین مفاخر تاریخ ایران به شمار می رود.

کاشانی به روشی کاملا خلاقانه و از طریق محاسبه و مقایسه محیط چند ضلعی های محاطی و محیطی توانست عدد πکه عددی حقیقی و گنگ است را تا ١۶ رقم بعد از اعشار محاسبه کند که تا حدود ١۵٠ سال پس از وی کسی در جهان نتوانست با دقت بهتری آن را محاسبه کند. او درابتدای رسالۀ محیطیه خود به زبانِ ریاضی به نام خدا را چنین بیان می کند .    “به نام او که از اندازۀ نسبتِ محیط دایره به قطرش آگاه است”

درس اول : اعداد گویا

اعداد گویا همان طور که قبلا تعریف کردیم یعنی عدد هایی که بتوان به صورت کسری نوشت به شرطی که مخرج آن صفر نباشد.

اعداد گویا نمایش دیگری نیز دارند که با انجام عمل تقسیم صورت بر مخرج کسر بدست می آید و آن را نمایش اعشاری آن کسر می گویند .

پیدا کردن چندین کسر بین دو عدد گویا

برای پیدا کردن چند کسر بین دو کسر راحت ترین روش این است که مخرج ها را در صورت مشترک نبودن مشترک کرده سپس به صورت و مخرج هر دو کسر صفر اضافه کرده و چندین عدد گویا بین دو کسر نوشت

اعداد طبیعی اعداد حسابی و اعداد صحیح را در نوشته قبلی بیان کردیم

اگر عددی گویا نباشد گنگ است

برای تشخیص اعداد گنگ از گویا باید آنها را به صورت اعشاری نوشت اگر قسمت اعشاری مختوم یا متناوب باشد عدد گویا و اگر قسمت اعشاری نامتناهی یا نا مختوم باشد عدد گنگ است یعنی قسمت اعشاری بدون هیچ تکراری دارای اعداد مختلف باشد و انتهای آن معلوم نباشد از اجتماع اعداد گویا و گنگ اعداد حقیقی بدست می آید یک عدد یا گنگ است یا گویا و نمی تواند در هر دو مجموعه قرار گیرد.

نمایش اعشاری اعداد سه حالت دارد :

متناهی :

کسری را فرض کنید اگر در مخرج کسر فقط عامل های اول ۲ یا ۵ یا هر دو ( هم زمان ) وجود داشته باشد ، در این حالت به هنگام تقسیم صورت بر مخرج ،در نهایت به باقیمانده ی صفر می رسیم و عمل تقسیم در مرحله ای متوقف خواهد شد  این حالت را نمایش اعشاری متناهی یا مختوم گویند.

مانند تقسیم عدد ۷ بر ۲۰ که به صورت اعشاری ۰٫۳۵ نمایش داده می شود

متناوب :

دو حالت دارد . حالت اول “اگر در مخرج کسر عامل های اولی غیر از ۲ و ۵ وجود داشته باشد در این حالت به هنگام تبدیل به نمایش اعشاری ، بلافاصله بعد از ممیز ، عددی به صورت مداوم تکرار می شود که آن را دوره ی تناوب می گوییم . این حالت را نمایش اعشاری متناوب ساده می نامند.”

مانند تقسیم عدد ۲ بر ۳ که به صورت اعشاری …۰٫۶۶۶۶۶۶۶۶۶۶۶ نمایش داده می شود عدد ۶ متناوب بوده و تکرار می شود

حالت دوم ” اگر مخرج کسر ، هم از عامل های اول ۲ یا ۵ و هم از عامل های غیر از این ها تشکیل شده باشد ، در این حالت به هنگام تبدیل به نمایش اعشاری ، بلافاصله بعد از ممیز ، دوره ی تناوب آغاز نمی شود ، بلکه یک یا چند رقم (بدون دوره ی تناوب ) می آید و سپس دوره ی تناوب شروع می شود که این حالت را نمایش اعشاری متناوب مرکب می نامند .

مانند تقسیم عدد ۱۶ بر ۴۵ که به صورت اعشاری …۰٫۳۵۵۵۵۵۵۵۵۵۵۵۵ نمایش داده می شود عدد ۵ دوره ی تناوب بوده و تکرار می شود

نکته :معمولا بجای عددهای تکرار شده فقط یکی را نوشته و خط کوچکی بالای آن قرار می دهند.

نا متناهی :

در این حالت  عددها در قسمت اعشاری بی پایان بوده مانند …۰٫۱۰۰۱۰۰۰۱۰۰۰۰۱۰۰۰۰۰۱ دوره ی تکرار و تناوب نداریم انتهای آن نیز مختوم نمی باشد در این حالت نمایش اعشاری را نا متناهی یا نا مختوم می نامند.

عدد پی را برای سادگی در محاسبات به صورت ۳/۱۴ نشان می دهیم در واقع انتهای آن مشخص و معلوم نیست و یک عدد گنگ است

مجموعه اعداد گویا و مجموعه اعداد گنگ

به اعدادی که در نمایش اعشاری انتهای آنها مختوم( متناهی ) و یا متناوب است عدد گویا و به اعدادی که انتهای آنها نامتناهی و نامتناوب است عدد گنگ یا اصم می گوییم اعداد رادیکالی تقریبی گنگ هستند و همچنین عدد پی گنگ است .پس بعد از مجموعه ی اعداد گویا به مجموعه ی اعداد گنگ می رسیم که با اجتماع این دو مجموعه یعنی گنگ با گویا مجموعه ی اعداد حقیقی به وجود می آید و با نماد IR نشان داده می شود
نماد اعداد گویا Q (کیو)
نماد اعداد گنگ `Q (کیو پریم)

IR=Q’UQ

مخرج مشترک

برای گرفتن مخرج مشترک باید ک.م.م را بدست آوریم که در واقع همان مخرج مشترک است نحوه ی بدست آوردن ک.م.م به این صورت است که دو عدد را در هم ضرب کرده تقسیم بر ب.م.م می کنیم


مثال : ۱/۱۲+۱/۱۸=؟


۱۲×۱۸÷۶=۳۶


پس ک.م.م یعنی همان مخرج مشترک که در عبارت بالا عدد ۳۶ است

 

درس دوم: عددهای حقیقی

 

 

 

عددها به دو دسته، عددهای گویا و عددهای گنگ دسته بندی می شود. اجتماع مجموعه ی عددهای گویا و عدد های اصم را مجموعه عددهای حقیقی می نامیم و آن را با R نمایش می دهیم.

IR= Q’ U Q

مجموعه ی اعداد طبیعی زیر مجموعه ی اعداد حسابی و مجموعه ی اعداد حسابی زیر مجموعه ی اعداد صحیح و مجموعه ی اعداد صحیح زیر مجموعه ی اعداد گویا است که اجتماع دو مجموعه ی اعداد گویا و گنگ مجموعه ی اعداد حقیقی را به وجود می آورد .هر کدام از مجموعه های گویا و گنگ زیر مجموعه ی اعداد حقیقی هستند

نکته :

تمامی اعدادی که می شنا سیم اعداد حقیقی هستند . ولی عدد تقسیم بر صفر عددی حقیقی به شمار نمی رود .

نکته :

با توجه به این که در مجموعه ی اعداد حقیقی ، بین هر دو عدد دلخواه ، بی شمار عضو وجود دارد ، برای نشان دادن اعضا می توانیم آن ها را روی محور اعداد نشان دهیم .

نکته :

اعداد حقیقی شامل همه ی اعداد گنگ ؛ گویا ؛ صحیح ؛ حسابی و طبیعی می شود .

نکته :

اعداد رادیکالی که جذر دقیق دارند گویا و اعداد رادیکالی که جذر دقیق ندارند گنگ هستند .

نکته :

عدد پی گنگ است برای سادگی در محاسبات ۳/۱۴ یا ۳ در نظر می گیرند .

نکته :

اعدادی که نمایش اعشاری آنها نامتناهی است جزء مجموعه ی اعداد گنگ هستند .

نکته :

اعدادی که نمایش اعشاری آنها متناهی یا متناوب است گویا هستند.
اعداد رادیکالی گنگ را باید با کمک قضیه ی فیثاغورس روی محور اعداد مشخص کرد در غیر این صورت دقیق نیست و تقریبی است.
برای رسم اعداد رادیکالی گنگ ابتدا با کمک  قضیه ی فیثاغورس باید اعدادی که اضلاع مثلث قائم الزاویه را می سازد پیدا کرده و سپس این مثلث را روی محور رسم کرده و سوزن پرگار را روی یک سر وتر مثلث که بر روی محور اعداد است قرار داده و به اندازه ی وتر یک کمان بزنیم. نقطه ای که کمان با محور برخورد می کند نشان دهنده ی عدد رادیکالی گنگ است

به سوالات زیر پاسخ دهید

۱-کدام عدد زیر گویا است ؟
۱ – رادیکال ۲             ۲- رادیکال ۴             ۳- رادیکال ۵                   ۴ – رادیکال ۸
۲-کدام عدد گنگ است ؟
۱ – عدد پی              ۲ – رادیکال ۲۵           ۳- رادیکال ۹                   ۴ – ۰/۴۵۶
۳-مجموعه ی اعداد حقیقی کوچکتر از رادیکال ۱۳ چند عضو دارد ؟
۱- ۳ عضو                  ۲ – ۵ عضو               ۳- بی شمار                     ۴- بدون عضو
می توانید جواب های درست را در نظرات بنویسید و ما آن را جواب می دهیم.

 

درس سوم : قدر مطلق و محاسبه ی تقریبی

قدر مطلق یه مکان مقدس تو ریاضی است
که همه ی اعداد رو پاک و مثبت می کنهاما چجوری همه رو مثبت و پاک میکنه؟؟

✅اگه یکی مثبت باشه تو مکان مقدس بره مثبت ازش خارج میشه

✅اگه یکی منفی باشه تو این مکان مقدس مجازاتش میکنن (مجازات کردن خودش منفیه ) یعنی یه عمل منفی رو اون فرد پیاده میشه تا مثبت بشه و بیاد بیرون یعنی مظلومانه در یه منفی ضرب میشه و میاد بیرون

سوال :

چرا بیاد بیرون از قدر مطلق

جواب :

چون با وجود قدر مطلق محاسبه سخته پس هر چی توش هستو میاریم بیرون راحت تر محاسبه کنیم

دوستان قدر مطلق در ریاضی مثل آچار برای تعمیر کاره یعنی همیشه همراش هست
در سولات کنکور هم مستقیم هم غیر مستقیم میاد همیشه و از طرفی مهندسان عزیزمونم میدونن در دانشگاه هم همش وجود داره

مثال هایی از قدر مطلق

اعداد منفی را قرینه می کند

قدر مطلق منفی خور است

|۵-۱۰|=|-۵|=۵

|-۶۸|=۶۸

a>0》》》》》 |a|=a

a<0》》》》》 |a|=-a

 

فصل اول رو خوب یاد بگیر با این آموزش !

جمع و ضرب

  • اگر a عددی منفی و b عددی مثبت باشد ( a <0 و b >0 ) ضرب آنها عددی منفی می باشدab >0 بدون در نظر گرفتن علامت اگر عدد منفی بزرگتر باشد جمع این دو عدد منفیa+b <0 و اگر عدد مثبت بزرگتر باشد جمع این دو عدد مثبت استa+b >0
  • اگر هر دو عدد مثبت باشد ( a>0 و b >0 ) در این صورت هم ضرب دو عدد مثبت و هم جمع دو عدد مثبت است ab>0 و a+b >0
  • اگر هر دو عدد منفی باشد ( a<0 و b <0 ) در این صورت ضرب دو عدد مثبت و جمع دو عدد منفی است ab>0 و a+b <0

بیرون آمدن اعداد از قدر مطلق

ابتدا باید مثبت یا منفی بودن عبارت های داخل قدر مطلق تشخیص داده شود در صورت منفی بودن قرینه شود و در صورت مثبت بودن خود عدد بیرون آید

اگر عبارتی منفی باشد و دارای چندین قسمت و بخواهیم از قدر مطلق بیرون آوریم باید همه ی قسمت ها تک تک قرینه شود

 سوالات چهار گزینه ای

سوال 1: اگر مستقیما بعد از اعشار تناوب شروع شود به کدام نوع نمایش اعشاری اشاره دارد؟

پاسخ شما اشتباه است گزینه سه جواب مورد نظر است.

سوال 2: کار قدر مطلق کدام گزینه است؟

پاسخ شما نادرست است گزینه چهار جواب مورد نظر است.

سوال 3: مخرج مشترک معنی کدام گزینه است ؟

پاسخ شما اشتباه است گزینه یک جواب مورد نظر است.

سوال 4: اجتماع مجموعه اعداد گنگ و گویا کدام مجموعه است.

پاسخ شما اشتباه است گزینه 2 جوآب مورد نظر است .

سوال 5: اشتراک مجموعه ی اعداد گنگ و گویا کدام مجموعه است.

پاسخ شما اشتباه است گزینه ی سه درست است.

سوال 6: |۹-۱۲| حاصل برابر کدام گزینه است.

پاسخ شما نادرست است گزینه سه جواب مورد نظر است.

بعدی

محصول فصل دوم ریاضی نهم ( عددهای حقیقی ) در لینک زیر

اسلاید های آموزشی فصل دوم پایه ی نهم

 

 

مقاله را پرینت بگیرید یا اگر می پسندید در شبکه های اجتماعی انتشار دهید

نوشته های مرتبط:

استدلال و اثبات در هندسه

فصل سوم : استدلال و اثبات در هندسه   با...

مجموعه ها

مجموعه ها   درس اوّل: معرفی مجموعه ها درس دوم:...

عبارت های گویا

عبارت های گویا درس اوّل: معرفی و ساده کردن عبارتهای گویا...

Comments (10)

هرچه بیشتر بهتر
ممنون از مطالب خوبتون
میشه همش به صورت رایگان در سایتو بزاری نه فروشی شرمنده چون پول واسه خرید ندارم

پاسخ

    فیلم های قدیمی رو از سایت حذف کرده و در حال به روز کردن فیلم ها هستیم

    پاسخ

سوال یک گزینه ۲
سوال ۲گزینه۱
سوال ۳ گزینه سه

پاسخ

لطفا اسلاید فصل های بعدی رو هم بسازید و هرچه سریع تر قرار دهید تا یادگیری و با آمادگی کامل وارد پایه ی نهم شویم ممنون از آموزش های عالی تون

پاسخ

    بله در حال ساخت قسمت های بعدی هستیم لطفا منتظر باشید

    پاسخ

سلام

آموزش هاتون فوق العاده است دست شما درد نکنه

پاسخ

    خواهش می کنم کار کوچکی برای شما عزیزان

    پاسخ

سوال یک: ۴√
سوال دو: عددپی
سوال سه: بی شمار

پاسخ

    آفرین عالی جواب ها درست است

    پاسخ
طراحی سایت
طراحی سایتسئوسرویس و تعمیر کولر گازی
X