وبلاگ

مجموعه، الگو و دنباله

فصل ۱ : مجموعه، الگو و دنباله

 

  1. درس اوّل: مجموعه های متناهی و نامتناهی
  2. درس دوم: متمم یک مجموعه
  3. درس سوم: الگو و دنباله
  4. درس چهارم: دنباله های حسابی و هندسی

 

یکی از اساسی ترین مفاهیم ریاضی « مجموعه » است که بسیاری از نظریه های دیگر ریاضی در یک قرن اخیر بر مبنای آن پایه گذاری یا سازماندهی شده اند. مطالعات جدی درباره ی مجموعه ها با کار جورج کانتور در سال ۱۸۷۰ آغاز شده است.

 

مجموعه های اعداد
انسان در طول تاریخ برحسب نیاز خود از مجموعه های مختلف اعداد استفاده کرده است. برخی از این مجموعه ها که در سال های قبل با آنها آشنا شدیم، به شرح زیرند:

 

مجموعه اعداد طبیعی : { … ,N =   { ۱, ۲ , ۳, ۴

مجموعه اعداد حسابی :   {… ,W = {0, 1, 2 , 3, 4

مجموعه اعداد صحیح : {… , Z = { … , -۲, -۱, ۰, ۱ , ۲, ۳

مجموعه اعداد گویا :Q = اعداد کسری که مخرج شان صفر نباشد.
مجموعه اعداد گنگ :Q′ =مجموعه اعدادی که نتوان آنها را به صورت نسبت دو عدد صحیح نمایش داد.
مجموعه اعداد حقیقی : IR = Q ∪ Q

 

همان طور که ملاحظه می شود رابطه ی زیرمجموعه بودن بین این مجموعه ها به شکل N ⊆ W⊆ Z ⊆ Q ⊆ R  برقرار است. به عبارت دیگر تمام مجموعه های اعدادی که تاکنون  با آنها آشنا شده ایم، زیرمجموعه هایی از اعداد حقیقی اند. در نتیجه، هر عدد دلخواهی را که درنظر بگیریم، باید جایی روی محور اعداد حقیقی داشته باشد و همچنین هر نقطه روی این محور نشان دهنده ی یک عدد حقیقی مشخص است.

 

درس اول: مجموعه های متناهی و نامتناهی

زیر مجموعه ای که مشخص کننده ی یک قطعه از محور اعداد حقیقی باشد را  «بازه»  یا  «فاصله» می نامیم.

 

بازه هایی که شامل نقاط ابتدایی و انتهایی خود باشند را بازه بسته می گویند.

بازه هایی که شامل نقاط ابتدایی و انتهایی خود نباشند را بازه باز می گویند.

بازه هایی که تنها شامل یکی از نقاط انتهایی خود می باشد را بازه های نیم باز می نامیم.

 

مجموعه هایی مانند A را که تعداد اعضای آنها یک عدد حسابی است، مجموعه های متناهی می نامیم.

 

مجموعه هایی که تعداد اعضای آن مجموعه از هر عددی که در نظر بگیریم، بزرگ تر باشد. چنین مجموعه هایی را مجموعه های نامتناهی می نامیم.

 

جنگل های آمازون

آمازون که به ریه های زمین مشهور است، جنگل بسیار بزرگی در شمالِ آمریکای جنوبی است و به دلیل همین وسعت، به آن جنگل های آمازون گفته می شود. حدود ۶۰ درصد این جنگل در خاک برزیل قرار
دارد، همچنین بخش هایی از آن هم در کشورهای پرو، اکوادور، گویان، کلمبیا، ونزوئلا، بولیوی و سورینام واقع شده است. در واقع این جنگل بیش از سه برابر خاک کشور ما وسعت دارد. رودخانه ی آمازون با
طول حدود ۶۵۰۰ کیلومتر به عنوان پرآب ترین رودخانهٔ دنیا که ۵ درصد آب شیرین جهان را در خود جای می دهد، نیز از دل این جنگل عبور می کند. نتیجهٔ یک مطالعه بزرگ که مدت ۱۰ سال به طول انجامید، نشان می دهد که ۰۰۰/۰۰۰/۰۰۰/ ۳۹۰ اصله درخت در ۱۶۰۰۰ گونه ی مختلف در جنگل های آمازون وجود دارد. با این حساب سهم هر فرد دنیا از این جنگل چند درخت می شود؟! با وجود این، مجموعه درخت های جنگل های آمازون یک مجموعه متناهی محسوب می شود یا نامتناهی؟

 

تذکر:

تعداد اعضای برخی از مجموعه های متناهی ممکن است بسیار زیاد باشد؛ با این حال با داشتن امکانات لازم و صرف وقت کافی ممکن است بتوان تعداد آنها را به دست آورد.

 

 

مقاله را پرینت بگیرید یا اگر می پسندید در شبکه های اجتماعی انتشار دهید
کسر متعارفى

فصل اولکسر متعارفى

 

  1. کسر و عدد مخلوط
  2. مقایسه و ساده کردن کسرها
  3. جمع و تفریق
  4. ضرب و تقسیم

 

 

کسر و عدد مخلوط 

کسرها و عددهای مخلوط دو نمایش مختلف از یک چیز هستند.

برای نوشتن یک کسر بزرگتر از واحد به صورت عدد مخلوط باید تعداد واحد های کامل را تشخیص دهید و کسری از واحد کامل را نیز تعیین کنید.

 

مشخص کردن اعداد روی محور

هر نقطه ی روی محور را می توان با یک عدد بیان کرد. هر عدد کسری را هم می توان روی محور عددها نشان داد.

 

 

مقایسه و ساده کردن کسرها 

برای مقایسه ی کسر هایی با مخرج های نابرابر، بهتر است از کسر های مساوی با مخرج های برابر استفاده کنید.

رسم شکل

کشیدن یک شکل مناسب مى تواند به حل مسئله کمک کند و یا مسئله را به طور کامل حل کند؛ طورى که دیگر نیازى به نوشتن محاسبه هاى ریاضى نباشد.

برای کشیدن شکل مناسب لازم نیست نقاّشی شما خوب باشد یا شکل هایی بکشید که نشان دهنده ی موضوع مسئله باشد. برای نمونه  نیازی نیست یک باک بنزین نقاّشی کنید؛ رسم یک مستطیل به جای باک کافی است.

 

جمع و تفریق

برای جمع و تفریق عدد های مخلوط، ابتدا قسمت های صحیح را با هم و قسمت های کسری را با هم جمع یا از هم کم کنید. سپس حاصل این دو قسمت را با هم جمع کنید تا پاسخ عبارت به دست آید. در پایان جواب را تا جایی که ممکن است، ساده کنید.

 

ضرب و تقسیم

برای محاسبه ی تقسیم دو کسر با مخرج غیر مساوی ابتدا آ نها را هم مخرج می کنیم.

اگر مخرج ها برابر است، می توانیم صورت ها را بر هم تقسیم کنیم. جواب به دست آمده را می توانیم به ضرب دو کسر تبدیل کنیم.

 

اینم خلاصه ای از کسرهای متعارفی

مقاله را پرینت بگیرید یا اگر می پسندید در شبکه های اجتماعی انتشار دهید

دایره

 

  • درس اول   : خط و دایره
  • درس دوم  : زاویه های مرکزی
  • درس سوم: زاویه های محاطی

 

 

زاویه های محاطی و مرکزی و ارتباط آنها با کمان ها در دا یره، کاربرد بسیاری در طراحی نقش فرش ها و دیگر صنایع دستی و معماری دارد.

در نمای داخلی سقف آرامگاه حکیم خیام نیشابوری از دایره استفاده شده. خیام، فیلسوف، ریاضی دان، ستاره شناس و رباعی سرای ایرانی قرن پنجم هجری شمسی است. یکی از برجسته ترین کارهای وی اصلاح گاهشماری ایران در زمان وزارت خواجه نظام الملک در دوره ی سلجوقی است.

 

خط و دایره

د ایره و خط سه حالت با هم دارند

  1. دو نقطه برخورد دارند
  2. یک نقطه برخورد دارند
  3. هیچ نقطه برخوردی ندارند

 

تعریف

در حالتی که خط و دایره تنها یک نقطه ی مشترک دارند، می گوییم خط بر دا یره مماس است.

 

تعریف

فاصله ی یک نقطه از یک خط، طول کوتاه ترین پاره خطی است که آن نقطه را به خط وصل می کند .

 

 

نکته ی بسیار مهم

شعاع دایره در نقطه ی تماس بر خط مماس عمود است.

 

 

تعریف

خطی که دو نقطه از دایره را به هم وصل می کند وتر دایره نام دارد

 

نکته

بزرگترین وتر دا یره قطر آن است.

 

نکته

خطی که از مرکز د ایره بر وتر عمود می شود، آن وتر را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند

و بر عکس، پاره خطی که مرکز د ایره را به وسط وتر وصل می کند، بر آن عمود است.

 

 

زاویه های مرکزی

زاویه ای که راس آن روی مرکز دا یره و دو ضلع آن دایره را قطع می کند زاویه ی مرکزی نام دارد.

 

اندازه ی زاویه ی مرکزی با کمان روبه رو به آن برابر است؛ بنابراین، ممکن است دو کمان با اندازه های مساوی، طول های متفاوتی داشته باشند.

 

 

سوال

دهانه ی پرگار را به اندازه ی شعاع دا یره ای باز کنید. از یک نقطه ی د ایره، شروع کنید و پی در پی کمان بزنید.

ب) بدین ترتیب، د ایره به چند کمان تقسیم می شود؟

ج) چرا این کمان ها با هم مساوی اند؟

د) هر کمان چند درجه است؟

ه) چند کمان ۱۲۰ درجه در شکل دیده می شود؟

 

 

زاویه های محاطی

زاویه ای که راس آن روی محیط د ایره و دو ضلع آن دایره را قطع می کند زاویه ی محاطی نام دارد.

 

اندازه ی زاویه ی محاطی برابر با نصف کمان روبه رو به آن است.

 

 

هندسه و استدلال پایه ی هفتم را یاد بگیرید..

مقاله را پرینت بگیرید یا اگر می پسندید در شبکه های اجتماعی انتشار دهید

آمار و احتمال هشتم

 

  • درس اول       :      دسته بندی داده ها
  • درس دوم      :     میانگین داده ها
  • درس سوم    :     احتمال یا اندازه گیری شانس
  • درس چهارم  :     بررسی حالت های ممکن

 

درس اول : دسته بندی داده ها

در سال های پیش با علم آمار، که علم جمع آوری، سازماندهی و تحلیل و تفسیر اطلاعات(داده ها) است، آشنا شدید. داده ها را با چوب خط، سر شماری و در جدول سازماندهی کردید؛ سپس، با توجه به موضوع و هدف آمارگیری، نمودار آن اطلاعات را رسم کردید. در زیر، چهار نوع نمودار و کاربرد هر کدام یادآوری شده است.

امسال آمار و احتمال هشتم را یاد می گیریم

نمودار ها

نمودار میله ای برای مقایسه ی داده های تقریبی تعداد کتاب های کتابخانه ی مرکزی شهر

نمودار خط شکسته برای نشان دادن تغییرات در مدتی مشخص

نمودار تصویری تعداد حیوانات یک روستا

نمودار دایره ای برای نشان دادن تعداد داده ها نسبت به کل

 

قبل از یادگیری آمار و احتمال هشتم می توانید آمار و احتمال هفتم را یاد بگیرید.

 

اگر داده های جمع آوری شده زیاد و پراکنده باشند، بررسی آنها طولانی می شود. برای اینکه بتوانیم آسان تر و بهتر نتیجه بگیریم، داده ها را متناسب با موضوع آماری دسته بندی و سازماندهی می کنیم.

 

سوال

در زیر، داده های جمع آوری شده درباره ی اندازه ی قد ۴۰ نفر از مردان ساکن یک  شهر کوچک برحسب سانتی متر مشخص شده است. n=40

۱۶۴ -۱۶۸ -۱۷۳ -۱۸۵ -۱۵۳- ۱۷۴ -۱۷۸- ۱۹۲ -۱۵۰ -۱۷۵ -۱۶۷- ۱۸۴- ۱۴۷- ۱۸۱۱۵۱ -۱۶۲- ۱۶۷ ۱۷۳- ۱۴۲ ۱۶۳- ۱۳۸ -۱۶۵- ۱۳۷- ۱۷۱ ۱۹۳- ۱۶۸ ۱۷۰- ۱۳۰ ۱۶۵  -۱۸۳ ۱۵۷ -۱۷۹ -۱۷۶ -۱۵۹- ۱۷۰ ۲۰۵- ۱۵۸ ۱۷۳- ۱۹۰- ۱۴۳

کمترین و بیشترین داده را مشخص کنید.

 

دامنه ی تغییرات

به فاصله ی بین این دو عدد دامنه ی تغییرات می گویند. دامنه ی تغییرات داده ها را پیدا کنید.

 

در یک تولیدی شلوار مردانه می خواهیم با توجه به داده های جمع آوری شده بالا اندازه های مختلف را طراحی کنیم. برای این کار، داده ها را دسته بندی می کنیم. هر دسته یک معنای مشخصی دارد؛ برای مثال، افراد مختلف را می توانیم به صورت زیر تقسیم بندی کنیم:

قد بلند، بلندتر از متوسط، متوسط، کوتاه تر از متوسط و قد کوتاه

به این ترتیب، داده های ما به ۵ دسته تقسیم می شوند. می توانیم طول این دسته ها را مساوی درنظر بگیریم؛ به همین دلیل، برای رسیدن به حدود دسته ها دامنه ی تغییرات را بر ۵ تقسیم می کنیم تا طول دسته ها به طور تقریبی معلوم شود. به این ترتیب، می توانیم محدوده دسته ها را مشخص کنیم و در یک جدول بنویسیم.

 

فراوانی

با توجه به حدود دسته ها با استفاده از چوب خط، تعداد داده های هر دسته را که به آن فراوانی می گویند، تعیین کنید.

 

درس دوم   :  میانگین داده ها

 

میانگین داده ها

پس از اینکه داده های آماری در جدول سازماندهی می شوند و به کمک نمودارها درک بهتری از داده ها به دست می آید، می توان از میانگین داده ها نیز برای کامل تر شدن نتایج داده ها و تحلیل و تفسیر بهتر آنها استفاده کرد.  شما در دوره ی ابتدایی با میانگین گرفتن آشنا شده اید. میانگین تعدادی داده ی عددی از تقسیم مجموع آنها بر تعدادشان به دست می آید. اگر تعداد داده ها زیاد باشد و داده ها دسته بندی شده باشند، می توان میانگین داده ها را با تقریب بسیار خوب به دست آورد.

 

مرکز دسته

برای بدست آوردن مرکز دسته ابتدا و انتهای محدوده ی اعداد را جمع کرده تقسیم بر ۲ می کنیم.

 

 

 

خواندنی

فکر اولیه ی احتمال بر بازی های شانسی مبتنی است. این گونه بازی ها از زمان های بسیار قدیم رایج بوده اند؛ زیرا در حفاری های باستان شناسی، برخی وسایل و آثار مربوط به بازی های شانسی مشاهده شده اند؛ از جمله مکعبی استخوانی که روی وجه های آن عدد هایی از ١ تا ۶ نقش شده است.در روزگار کنونی در مواردی که به راحتی نتوان یک انتخاب را بر انتخاب دیگر ترجیح داد از شانس استفاده می شود؛ برای مثال در شروع بازی فوتبال از پرتاب سکه استفاده می کنند یا برای قبول یا رد یک موضوع از قرعه کمک می گیرند.

 

درس سوم   :   احتمال یا اندازه گیری شانس

 

برای اینکه احتمال رخ دادن هر پیشامد را بیابیم، تعداد حالت های منجر به آن اتفاق را بر تعداد کل حالت ها تقسیم می کنیم:

 

تعداد حالت های مطلوب تقسیم بر تعداد همه ی حالت های ممکن  = احتمال رخ دادن هر پیشامد

 

نکته

احتمال رخ دادن یک پیشامد برابر با صفر، یک یا عددی بین صفر و یک است .

 

 

درس چهارم  :  بررسی حالت های ممکن

 

برای بدست آوردن کل حالت های ممکن مانند مثال زیر عمل کنید:

۲×۲=۴    تمام حالت های ممکن در پرتاب دو سکه

(ر،پ) (ر،ر) (پ،پ) (پ،ر)

 

سوال :

اگر دو تاس را بیاندازیم تمام حالت های ممکن چند تاست ؟

 

جواب در نظرات

 

امیدوارم آمار و احتمال هشتم را یاد گرفته باشید رای و نظر یادتون نره

مقاله را پرینت بگیرید یا اگر می پسندید در شبکه های اجتماعی انتشار دهید

آمار و احتمال پایه ی هفتم

 

درس آمار و احتمال یکی از درس هایی است که در سال های بعد نیازمند آن هستید پس خوب یاد بگیرید.

  • درس اول       :     جمع آوری و نمایش داده ها
  • درس دوم      :     نمودارها و تفسیر نتیجه ها
  •  درس سوم   :     احتمال یا اندازه گیری شانس
  •  درس چهارم :     احتمال و تجربه

 

جمع آوری و نمایش داده ها

 

تعریف آمار

علم آمار علم جمع آوری اطّلاعات، سازماندهی و بررسی آنها است. اطّلاعات جمع آوری شده را داده های آماری می گویند.

 

 

جمع آوری، تفسیر و تحلیل اطّلاعات و داده های آماری به تصمیم گیری و همچنین پیش بینی وقایع کمک می کند.

برای مثال یک کارشناس هواشناسی با کمک علم های آمار و احتمال وضعیت هوا را پیش بینی می کند.

 

یادگیری بردار و مختصات در اینجا…

 

نمودارها و تفسیر نتیجه ها

 

نمودار میله ای

برای مقایسه و بررسی بهتر داده های آماری از انواع نمودار ها استفاده می کنند.

هرنمودار با توجّه به موضوعی که داده های آن جمع آوری شده است و نوع اطّلاعات به دست آمده، کارایی دارد.

برای مثال:

نمودار میله ای برای مقایسه ی تعداد، پیدا کردن بیشترین و کمترین داده به کار می رود.

در حال حاضر نرم افزار های زیادی برای رسم انواع نمودار ها وجود دارند. آنچه اهمیت دارد رسم نمودار نیست؛ بلکه انتخاب نمودار مناسب برای موضوع مورد نظر است. در ادامه با انواع نمودارها و کاربردهای آنها آشنا می شوید.

 

سوال :

۱- میزان بارندگی در شهر رشت طی یک سال در هر ماه به شرح زیر بوده است.

( واحد اندازه گیری میلی متر است.)

فروردین ۷۱ اردیبهشت ۶۲ خرداد ۵۰ تیر ۵۵ مرداد ۶۵ شهریور ۱۴۱

مهر ۱۸۹ آبان ۱۸۰ آذر ۱۷۱ دی ۱۵۰ بهمن ۱۲۱ اسفند

 

جدول داده ها و نمودار ستونی آن را با انتخاب مقیاس مناسب رسم کنید؛ سپس به پرسش های زیر پاسخ دهید.

 

الف) میزان بارندگی در یک ماه یعنی چه؟

ب) بیشترین و کمترین مقدار بارندگی در چه ماه هایی بوده است؟

ج) پر باران ترین فصل شامل چه ماه هایی است؟

د) در کدام ماه ها وضعیت هوا برای کار های ساختمانی مناسب تر است؟

ه) در چه ماه هایی بارندگی بیشتر از ۱۴۰ میلی متر بوده است؟

و) میانگین ماهانهٔ بارندگی این سال در شهر رشت چقدر است؟

 

نمودار خط شکسته

نمودار خطّ شکسته برای نمایش تغییرها کاربرد دارد؛ بنابراین در موضوع هایی که تغییرها اهمّیت دارد، از این نموداراستفاده می شود.

برای نمونه تغییرها در بازار های مالی، قیمت طلا، نفت، سهام و… را با این نمودار نشان می دهند.

گاهی وقت ها به جای داده های واقعی از مقدار تقریبی آنها استفاده می کنیم.

در برنامه ریزی های کلان به عدد های واقعی و دقیق نیاز نداریم.

برای مثال مقدار تولید گندم یک استان را به صورت چند هزار تن بیان می کنند؛ یعنی مقدار کمتر از ۱۰۰۰ تن یا یک میلیون کیلوگرم در این بررسی اهمّیت ندارد.

 

نمودار دایره ای

بعضی از داده ها و اطّلاعات جمع آوری شده نشان می دهد که یک مقدار مشخّص به چه نسبتی به بخش های کوچک تر تقسیم شده است.

در این موارد می توان تقسیم شدن را روی یک شکل مثل دایره نشان داد و سهم هر بخش را روی دایره مشخّص کرد.

در نمودار دایره ای به طور معمول نسبت و سهم هر بخش را به صورت درصد محاسبه کرده؛ و سپس روی نمودارنمایش می دهند.

چرا بعد از محاسبۀ درصد ممکن است نیاز باشد از عدد های تقریبی استفاده کنیم؟

۸۳% را با کسری با مخرج ۱۰ تقریب بزنید.

 

 

احتمال یا اندازه گیری شانس

 

وقتی یک سکه را می اندازیم، دو حالتِ هم شانس ممکن است اتفاق بیفتد، یا سکه رو می آید یا پشت و چون در یک حالت از این دو حالتِ ممکن، سکه رو می آید؛ پس احتمال رو آمدن سکه ½ است.

به این ترتیب برای بیان اندازهٔ شانس رخ دادن یک اتفاق، از یک عدد استفاده کرده ایم که احتمال رخ دادن آن اتفاق نامیده می شود.
برای اینکه احتمال رخ دادن یک اتفاق را به دست آوریم، ابتدا همه ی حالت های ممکن را می یابیم، سپس حالت های موردنظر را از میان حالت های ممکن پیدا می کنیم.

احتمال رخ دادن اتفاق موردنظر برابر است با نسبت تعداد حالت های موردنظر به تعداد حالت های ممکن

 

سوال :

احتمال اتفاق افتادن هر اتفاق را با یک کسر بیان کنید. توضیح دهید صورت و مخرج هر کسر را چگونه پیدا کرده اید.

الف)تاس می اندازیم، عددی زوج بیاید.

ب) تاس می اندازیم، عددی بخش پذیر بر ٣ بیاید.

ج) عقربهٔ چرخندهٔ مقابل روی سبز قرار بگیرد.

د) عقربهٔ چرخندهٔ مقابل روی قرمز قرار بگیرد.

 

 

احتمال و تجربه

 

این درس با یک سوال :

۱- محسن می خواهد یک سکه بیندازد، سکه رو می آید یا پشت؟

او سکه را انداخت. سکه رو آمد. اگر دوباره سکه را بیندازد، رو می آید یا پشت؟

محسن سه بار سکه را انداخت و هر سه بار رو آمد. اگر یک بار دیگر سکه را بیندازد، رو می آید یا پشت؟

 

 

اگر تمایل داشتید به سوالات آمار و احتمال در قسمت نظرات پاسخ دهید.

مقاله را پرینت بگیرید یا اگر می پسندید در شبکه های اجتماعی انتشار دهید

بردار و مختصات

 

  • درس اول      :     پاره خط جهت دار
  • درس دوم     :     بردار های مساوی و قرینه
  • درس سوم   :     مختصات
  • درس چهارم :     بردار انتقال

 

پاره خط جهت دار

بردار : پاره خطی  جهت دار است که دارای اندازه و راستا می باشد.

 

بردار های برابر : بردار هایی که دارای هم اندازه ، هم جهت و هم راستا هستند را بردار های برابر می نامند.

 

بردار های قرینه : بردار هایی را که هم راستا و هم اندازه اما در خلاف جهت یکدیگر باشند بردار های قرینه می نامند.

 

سوال :

قرینه ی جهت شمال چه جهتی است؟

قرینه ی جهت شرق چه جهتی است؟

قرینه ی جهت شمال شرقی چه جهتی است؟

 

مختصات

در دوره ی دبستان با محورهای مختصات آشنا شدید.

امسال با قسمت منفی محور ها هم آشنا می شوید .

 

نکته : مختصات را داخل [  ] (کروشه) نمایش می دهند.

 

عدد بالایی در کروشه عدد روی محور افقی ، محور x و یا محور طولی را نشان می دهد.

عدد پایینی در کروشه عدد روی محور عمودی ، محور y و یا محور عرضی را نشان می دهد.

 

برای پیدا کردن مختصات یک نقطه باید شمارش را از ابتدای محور یا مبداء محور مختصات شروع کنیم که نقطه ی صفر است .

 

بردار انتقال

برداری که دارای طول و عرض است و می توان به صورت مختصاتی آن را نشان داد همینطور با توجه به حرکت طولی و عرضی می توان شکلی را با آن جابجا کرد که به آن بردار انتقال می گویند.

 

 

با مشخص بودن مختصات ابتدا، مختصات بردار و مختصات انتهای یک بردار می توان یک جمع متناظر برای بردار نوشت.به کمک این جمع و با معلوم بودن دو مختصات می توان مختصات قسمت سوم ( نا معلوم ) را پیدا کرد. دو بردار وقتی مساوی هستند که مؤلفه های اوّل آنها با هم و مؤلفه های دوم آنها با هم برابر باشد.

 

اگر قسمت حجم را یاد نگرفته اید در اینجا بخوانید…

 

کاربرد

کاربرد اصلی این موضوع را در درس های علوم خود خواهید دید. در دورهٔ دوم متوسطه و در درس فیزیک نیز با کاربردهای بیشتری از این موضوع آشنا می شوید.

 

 

مقاله را پرینت بگیرید یا اگر می پسندید در شبکه های اجتماعی انتشار دهید

حجم و مساحت

 

  • درس اوّل : حجم و مساحت کره
  • درس دوم : حجم هرم و مخروط
  • درس سوم : سطح و حجم

 

درس اوّل : حجم و مساحت کره

 

در سال های قبل با انواع حجم های هندسی آشنا شدید. این حجم ها به سه دسته تقسیم می شوند:

منشوری، کروی و هرمی.

 

کرهٔ زمین و توپ بسکتبال نمونه هایی از حجم های کروی است.

 

دایره، مجموعه نقاطی از صفحه است که همهٔ آن نقطه ها از یک نقطه در همان صفحه به نام مرکز به یک فاصلهٔ ثابت و مشخص هستند. به این اندازه ثابت، شعاع دایره می گوییم.

 

کره

کره، مجموعه نقاطی از فضا است که همهٔ آن نقطه ها از یک نقطه در فضا به نام مرکز به یک فاصلهٔ ثابت و مشخص هستند. به این اندازه ثابت، شعاع کره می گوییم.

 

حجم کره ای به شعاع R

V=4/3ΠR³

مساحت کره ای به شعاع R

v=4ΠR²

 

حجم های پایه هفتم را فراموش کرده اید؟

 

درس دوم : حجم هرم و مخروط

 

هرم

یکی دیگر از حجم های هندسی، حجم هرمی است. به طور حتم نام اهرام مصر را شنیده اید.

هرم، یک شکل فضایی است که دارای یک وجه زیرین به نام قاعده است. قاعده هرم، یک چند ضلعی است. مانند شکل مقابل روی تمام محیط این چند ضلعی، سطح هایی قرار دارد که در یک نقطه به نام رأس، یکدیگر را قطع می کنند.

 

اگر دو هرم دارای قاعده های هم مساحت و ارتفاع های مساوی باشند، حجم های آنها با هم برابر است.

 

حجم هرم با مساحت قاعده S و شعاع قاعده R

v=1/3Sh

 

مخروط

مخروط، شکلی شبیه هرم منتظم است که قاعدهٔ آن به شکل دایره و پای ارتفاع مخروط مرکز این دایره است.

 

حجم مخروط با شعاع R و ارتفاع h

V=1/3ΠR²h

درس سوم : سطح و حجم

 

می توان سطوح مختلف را به حجم تبدیل نمود .

 

این دو سوال جزء سوالات مهم هستند لطفا جواب دهید سپس فرمل حجم مورد نظر را پیدا کنید .

 

۱- با دوران دادن یک مستطیل حول ضلع آن چه حجمی به دست می آید؟

۲- اگر مثلث قائم الزاویه را حول ضلع مشخص شده در شکل، دوران دهیم، چه شکلی به دست می آید؟

 

جواب سوالات را در قسمت نظرات بدهید.

 

 

جزوه ی فصل هشتم ریاضی نهم

 

مقاله را پرینت بگیرید یا اگر می پسندید در شبکه های اجتماعی انتشار دهید

عبارت های گویا

  • درس اوّل: معرفی و ساده کردن عبارتهای گویا
  • درس دوم: محاسبات عبارتهای گویا
  • درس سوم: تقسیم چندجمله ای ها

 

 

درس اوّل: معرفی و ساده کردن عبارت های گویا

 

تعریف :

به طور کلی هر عبارت گویا، کسری است که صورت و مخرج آن چند جمله ای باشد.

 

عبارات گویا تعریف نشده :

برای تعیین همه مقادیری که به ازای آنها یک عبارت گویا تعریف می شود، باید مقادیری از متغیر را حذف کنیم که به ازای آنها مخرج کسر صفر می شود؛ به عبارت دیگر این مقادیر را نمی توان به جای متغیر در عبارت جبری قرار داد و حاصل را محاسبه کرد.

 

نکته :

از طرفی وقتی حاصل ضرب چند عبارت برابر صفر شود، حداقل یکی از آنها صفر است.

 

ساده کردن یک عبارت گویا

در ساده کردن هر عدد گویا می توان صورت و مخرج را به عددی غیرصفر تقسیم کرد.

 

 

 

درس دوم: محاسبات عبارت های گویا

 

ضرب و تقسیم عبارت های گویا

عبارت های گویا را همانند عددهای گویا می توان در هم ضرب یا بر هم تقسیم کرد.

در ضمن در مورد عبارات گویا هم هرجا که امکان داشته باشد، می توان عبارت را ساده کرد.

جمع و تفریق عبارت های گویا

جمع و تفریق عبارت های گویا مشابه جمع و تفریق عددهای گویاست.

ساده کردن عبارت های مرکب

هنگام ساده کردن هر عبارت گویای مرکب، همانند کسرهای مرکب می توان صورت و مخرج را جداگانه ساده و سپس آنها را برهم تقسیم کرد و یا از همان ابتدا صورت و مخرج را در عبارتی مناسب  (و غیر صفر) ضرب کرد.

 

 

درس سوم: تقسیم چندجمله ای ها

 

تقسیم یک جمله ای بر یک جمله ای

برای تقسیم دو یک جمله ای بر یکدیگر از قوانین ساده کردن کسرها و نیز قوانین مربوط به ساده کردن توان ها استفاده می کنیم.

 

تقسیم چند جمله ای بر یک جمله ای

 

عبارت های جبری پایه ی هشتم را در اینجا یاد بگیرید

 

تقسیم چند جمله ای بر چند جمله ای

نکته :

وقتی باقیمانده صفر باشد، می گوییم مقسوم بر مقسوم علیه بخش پذیر است

 

 

 

جزوه ی فصل هفتم ریاضی نهم

 

 

فیلم اول فصل هفتم

قیمت کل فیلم با تخفیف ۱۵۰۰تومانی فقط ۵۰۰ تومان

فیلم آموزش عبارات گویا قسمت اول

مقاله را پرینت بگیرید یا اگر می پسندید در شبکه های اجتماعی انتشار دهید

توان و جذر هشتم

 

  • درس اول: توان
  • درس دوم: تقسیم اعداد توان دار
  • درس سوم: جذر تقریبی
  • درس چهارم: نمایش اعداد رادیکالی روی محور اعداد
  • درس پنجم: خواص ضرب و تقسیم رادیکال ها

 

 

درس اول: توان

 

ضرب عدد های توان دار

  • پایه های مساوی

در ضرب عدد های توان دار با پایه های مساوی یکی از پایه ها را نوشته و توان ها را با هم جمع می کنیم .

  • توان های مساوی

در ضرب عدد های توان دار با توان های مساوی یکی از توان ها را نوشته و پایه ها را در هم ضرب می کنیم .

 

نکته : اگر عددی دوبار به توان برسد می توان پایه را نوشت و توان ها را در هم ضرب کرد.

 

سوال : ۲۵ برابر عدد ۶۲۵ را به صورت توان دار نشان دهید .

(در قسمت نظرات جواب سوال را بنویسید.)

 

 

 

 

درس دوم: تقسیم اعداد توان دار

 

تقسیم عدد های توان دار

  • پایه های مساوی

در تقسیم عدد های توان دار با پایه های مساوی یکی از پایه ها را نوشته و توان اولی را منحای دومی می کنیم .

  • توان های مساوی

در تقسیم عدد های توان دار با توان های مساوی یکی از توان ها را نوشته و پایه ی اولی را بر دومی تقسیم می کنیم .

 

درس سوم: جذر تقریبی

 

جذر تقریبی

ابتدا دو عدد قبل و بعد از عددی که قصد گرفتن جذر داریم را پیدا می کنیم به طوری که آن دو عدد جذر دقیق داشته باشند.

سپس جذر دو عدد را حساب کرده و می توان حدس زد عدد ما بین چه عددهایی است.

در انتها با ضرب دو عدد  اعشاری که مثل هم بوده و ضرب آنها نزدیک به جواب باشد جواب را می یابیم.

۶۴√ >  ۶۰√  >  ۴۹√

۸   >  ۶۰√  >  ۷

۵۷/۷۶=۷/۶×۷/۶

۵۹/۲۹=۷/۷×۷/۷      →

۶۰/۸۴=۷/۸×۷/۸

۶۲/۴۱=۷/۹×۷/۹

چون جواب دو ضرب آخر  بیشتر از ۶۰ بودند خط خوردند و جواب ۷/۷ درست می باشد.

 

 

 اگر توان و جذر هفتم را یاد نگرفته اید به این صفحه مراجعه کنید.

 

 

 

درس چهارم: نمایش اعداد رادیکالی روی محور اعداد

 

نمایش عدد رادیکالی روی محور اعداد

 

اعداد رادیکالی را هم می توان با ترفند هایی روی محور اعداد نمایش داد.

 

 

درس پنجم: خواص ضرب و تقسیم رادیکال ها

 

ویژگی های ضرب و تقسیم عددهای رادیکالی

 

اگر دو عدد داخل یک رادیکال ضرب شده باشند می توان به صورت رادیکال های جدا نوشت و سپس رادیکال ها را ضرب کرد و برعکس.

 

اگر دو عدد داخل یک رادیکال تقسیم شده باشند می توان به صورت رادیکال های جدا نوشت و سپس رادیکال ها را بر هم تقسیم کرد و برعکس.

 

 

 

 

امیدوارم توان و جذر هشتم را آسان یاد بگیرید لطفا با نظرات خود ما را دلگرم کنید.

 

 

مقاله را پرینت بگیرید یا اگر می پسندید در شبکه های اجتماعی انتشار دهید

توان و جذر هفتم

  • درس اول      :   تعریف توان
  • درس دوم     :   محاسبه ی عبارت توان دار
  • درس سوم   :   ساده کردن عبارت های توان دار
  • درس چهارم :   جذر و ریشه

 

 

درس اول      :   تعریف توان

 

توان

برای ساده تر شدن عبارت های ضرب مانند ۴×۴×۴ آنها را به صورت توان دار ۴³ می نویسیم و می خوانیم ۴ به توان ۳ که عدد ۴ پایه و عدد ۳ توان است.

 

نکته : هر عدد به توان دو را مجذور یا مربع عدد می نامیم.

نکته : هر عدد به توان یک برابر خودش می شود.

نکته : هر عدد بجز صفر به توان صفر برابر یک می شود.

نکته : هر عددی که توان نداشته باشد توانش یک است.

نکته : هر عدد به توان سه را مکعب عدد گویند.

 

فیلم آموزشی توان برای آسان تر شدن یادگیری شما

 

 

درس دوم     :   محاسبه ی عبارت توان دار

 

ترتیب انجام عملیاتی که در دوره ی دبستان خوانده اید حالا با ترتیب جدید بیاموزید

۱- پرانتز

۲- توان و جذر

۳- ضرب و تقسیم ( هر کدام از سمت چپ اول بود )

۴- جمع و تفریق

 

دانلود فیلم محاسبه ی عبارت های توان دار

 

 

درس سوم   :   ساده کردن عبارت های توان دار

 

در ضرب دو عبارت توان دار اگر

پایه ها برابر باشد : یکی از پایه ها را نوشته توان ها را با هم جمع می کنیم.

 

توان ها برابر باشد : یکی از توان ها را نوشته پایه ها را در هم ضرب می کنیم.

 

فیلم ضرب اعداد توان دار جتما ببینید

 

 

درس چهارم :   جذر و ریشه

 

جذر که نماد آن رادیکال √  است در واقع ریشه ی دوم مثبت عدد است.

ریشه ی دوم هر عدد دو تا بوده که یکی منفی و یکی مثبت است.

 

 

نمونه سوالات امتحانی را در این قسمت دانلود نمایید.

 

 

امیدوارم توان و جذر هفتم ا خوب یاد گرفته باشید

 

 

مقاله را پرینت بگیرید یا اگر می پسندید در شبکه های اجتماعی انتشار دهید
طراحی سایت
طراحی سایتسئواجاره ویلا و فروش ویلا شمالسرویس و تعمیر کولر گازیاجاره ویلافروش ویلااجاره ویلافروش ویلاویلا شمالویلا زیباکنار
X