استدلال و اثبات در هندسه

فصل سوم : استدلال و اثبات در هندسه

 

با نام و یاد خدا استدلال و اثبات در هندسه را شروع می کنیم امیدوارم خوب یاد بگیرید

 

  • درس اوّل: استدلال
  • درس دوم: آشنایی با اثبات در هندسه
  • درس سوم: هم نهشتی مثلث ها
  • درس چهارم: حل مسئله در هندسه
  • درس پنجم: شکل های متشابه

 

درس اوّل: استدلال

راه های استدلال :

الف ) شهودی – حواس پنج گانه :

یک روش نتیجه گیری کلی است که بر اساس مشاهدات محدودی صورت می گیرد.

مانند :

اگر هوا ابری باشد ، باران خواهد آمد. هم اکنون باران می بارد نتیجه گیری هوا ابری است .

استدلال

 یعنی دلیل آوردن و استفاده از دانسته های قبلی، برای معلوم کردن موضوعی که در ابتدا مجهول بوده است.

 

حتی در بسیاری از کارهای روزمره نیز به استدلال نیاز پیدا می کنیم.

راه های متفاوتی برای استدلال کردن هست که اعتبار و قابل اعتماد بودن آنها می تواند یکسان نباشد. به استدلالی که موضوع موردنظر را به درستی نتیجه بدهد، اثبات می گوییم .پس معنی استدلال و اثبات در هندسه را آموختیم

ب ) تجربه :

یک روش نتیجه گیری است بر اساس جقایقی که درستی آنها را قبلا پذیرفته ایم .

مانند: تجربه ثابت کرده که اگر دو عدد فرد را جمع کنیم جواب عددی زوج است پس همواره می توان نتیجه گرفت که جمع دو عدد فرد زوج است .

مثال :

اگر سه مثلث رسم کنیم که همگی ارتفاع ها درون مثلث باشند

آیا می توان نتیجه گرفت در هر مثلث، محل برخورد هر دو ارتفاع درون مثلث است؟

یک مثال بزنید که نتیجه ی بالا را نقض کند.

خیر ممکن است مثلثی باشد که ارتفاع آن درون مثلث قرار نگیرد

مثال :

هرچند به طور معمول در ریاضیات و به ویژه در هندسه استفاده از شکل، ترسیم و شهود به تشخیص راه حل ها و ارائه ی حدس های درست کمک زیادی می کند، امّا به تشخیصی که براساس این روش ها حاصل می گردد، نمی توانیم به طور کامل اطمینان کنیم.

مواردی از درس علوم (مثل آزمایش تشخیص گرما و سرمای آب) مثال بزنید که حواس ما خطا می کند. در مورد نتایجی که از این مثال ها می گیرید، با یکدیگر بحث کنید.

مانند بردن دست در آب گرم و سپس قرار دادن در آب سرد که احساس می کنیم دستمان می سوزد

مثال :

نیما و پژمان مشغول دیدن مسابقات وزنه برداری بودند. وزنه برداری می خواست وزنه ای ۱۰۰ کیلویی را بلند کند.آنها هر دو عقیده داشتند که او نمی تواند وزنه را بلند کند؛ برای ادعای خود استدلال های متفاوتی می کردند.

نیما: زیرا هفته ی پیش این وزنه بردار تمرینات بهتری انجام داده بود، با این حال نتوانست وزنه ی ۹۰ کیلویی را بلند کند.

پژمان: امروز دوشنبه است. من بارها مسابقات این وزنه بردار را دیده ام. او هیچ گاه در روزهای زوج موفق نبوده است.

استدلال کدام یک قابل اعتمادتر است؟ درباره ی استدلال ها بحث کنید.

استدلال نیما چون منطقی تر به نظر می رسد

مثال :

 چون من تا به حال هیچ وقت تصادف نکرده ام، در سفر آینده نیز تصادف نخواهم کرد. این استدلال مشابه کدامیک از استدلال های زیر است؟

الف)چون برخی مثلث ها قائم الزاویه اند؛ پس مثلث های متساوی الاضلاع هم قائم الزاویه اند.

ب) همه ی فیلم های جنگی که تاکنون دیده ام، جذاب بوده اند. فیلمی که دیروز دیدم جذاب بود، پس فیلم جنگی بوده است.

ج)چون تمام بچه های خاله های من دختر هستند، پس بچه ی خاله ی کوچکم هم که به زودی به دنیا می آید دختر خواهد بود.

د)چون همه ی قرص های مسکن خواب آور است، پس در این قرص ها ماده ای هست که باعث خواب آلودگی می شود.

مشابه  ج می باشد

مثال :

حمید و وحید می دانستند که علی، حسن، حسین و باقر برادرند و: علی از حسین بزرگ تر و حسن از باقر کوچک تر است و باقر از علی کوچک تر و حسن نیز از حسین کوچک تر است. هر دو نفر اعتقاد داشتند که علی از حسن بزرگ تر است؛ اما استدلال های متفاوتی می کردند.

حمید: در تمام خانواده هایی که دو فرزند به نام های علی و حسن داشته اند، علی فرزند بزرگ تر بوده است.

وحید: چون علی از حسین بزرگ تر و حسن از حسین کوچک تر است، پس علی از حسن بزرگ تر است.

استدلال کدام یک درست است؟ درباره ی درستی استدلال ها بحث کنید.

جواب وحید درست است چون استدلال علمی کرده است .

 

 

هم نهشتی را از پایه ی هفتم و هشتم یادبگیر و مرور کن

 

درس دوم: آشنایی با اثبات در هندسه

در درس گذشته آموختید که دیدن و استفاده از حواس یا ارائه ی مثال های متعدد و همچنین توجه به ابعاد ظاهری برای ایجاد اطمینان از درستی یک موضوع کفایت نمی کند و باید از دلیل های منطقی و قانع کننده کمک گرفت و با استدلال، درستی آن موضوع را ثابت کرد.

در روند استدلالمان از اطلاعاتِ مسئله(فرض یا داده ها) و حقایق و اصولی که درستی آنها از قبل برای ما معلوم شده است، برای رسیدن به خواسته ی مسئله (حکم) استفاده می کنیم.

 

به گفت وگوی زیر توجه کنید:

مهرداد: آیا در هر لوزی زاویه های روبه رو با هم برابر است؟

سعید: بله، من در یک کتاب هندسه دیدم که اثبات کرده بود در متوازی الاضلاع زاویه های روبه رو، با هم مساوی است و لوزی هم نوعی متوازی الاضلاع است.

در این مسئله و اثبات آن، فرض، حکم و استدلال را در زیر کامل کنید:

فرض: شکل لوزی است.

حکم: _زاویه های روبرو _ برابر است.

استدلال:

لوزی نوعی __متوازی الاضلاع __ است.

…………………………………………………..  ⇐  ⇐    در لوزی زاویه های روبه رو ___برابر___ است .

در متوازی الاضلاع ___زاویه های روبرو_____ برابر است.

 

اولین اقدامی که برای اثبات انجام می دهیم، تشخیص فرض، حکم و واقعیت های مرتبط با آن مسئله است که از قبل آنها را می دانستیم.

 نکته :

اگر در یک مثلث دو زاویه نابرابر باشد، ضلع روبه رو به زاویه ی بزرگ تر، بزرگ تر است از، ضلع روبه رو به زاویه ی کوچک تر.

تعریف :

وقتی خاصیتی را برای یک عضو از یک مجموعه ثابت کردیم، اگر تمام ویژگی هایی که در استدلال خود به کار برده ایم، در سایر عضوهای آن مجموعه نیز باشد، می توان درستی نتیجه را به همه ی عضوهای آن مجموعه تعمیم داد.

مسئله:

حمید، سعید و بهرام هر کدام مقداری پول دارند. مجموع پول های حمید و بهرام برابر ۵۰۰۰ تومان و مجموع پول های سعید و بهرام نیز برابر ۵۰۰۰ تومان است. به نظر شما پول حمید بیشتر است یا پول سعید؟ دلیل خود را توضیح دهید.

محدب

 یک چندضلعی محدب است؛ اگر هر پاره خطی که دو نقطه ی دلخواِه درون آن چندضلعی را به هم وصل می کند، به طور کامل درون آن چند ضلعی قرار بگیرد

مقعر

یک چند ضلعی مقعر است ، اگر هر پاره خطی که دو نقطه ی دلخواه درون آن چند ضلعی را به هم وصل می کند ، یک یا چند ضلع از چند ضلعی را قطع کند در واقع کمی از پاره خط بیرون از چند ضلعی قرار بگیرد.

مسئله :

ثابت کنید هر نقطه که روی نیمساز زاویه قرار دارد، از دو ضلع آن زاویه به یک فاصله است.

یادآوری: فاصله ی یک نقطه از یک خط برابر است با طول پاره خطی که از آن نقطه بر خط عمود می شود.

راهنمایی: یک زاویه ی دلخواه بکشید و نیمساز آن را رسم، و یک نقطه روی این نیمساز مشخص کنید. ثابت کنید فاصله ی این نقطه از دو ضلع زاویه با هم برابر است و سپس دلیل آن را که این نتیجه برای همه ی نقاطِ روی نیمساز درست است، بیان کنید.

درس سوم: هم نهشتی مثلث ها

تعریف هم نهشتی

اگر بتوانیم شکلی را با یک یا چند تبدیل هندسی ( تقارن ، دوران و انتقال ) طوری بر شکل دیگر منطبق کنیم که کاملا همدیگر را بپوشانند می توانیم بگوییم که این دو شکل با یکدیگر هم نهشت اند .

هم نهشتی را با علامت ≅  نشان می دهند .

حالت های هم نهشتی

حالت اول (ض ز ض)     : دو ضلع و زاویه ی بین از یک مثلث با دو ضلع و زاویه ی بین از مثلث دیگر برابر باشند آن دو مثلث با هم ، هم نهشت اند.

حالت دوم (ض ض ض)  : سه ضلع از یک مثلث با سه ضلع از مثلث دیگر برابر باشند این دو مثلث با هم هم نهشت اند.

حالت سوم (ز ض ز)     : دو زاویه و ضلع بین از یک مثلث با دو زاویه و ضلع بین از مثلث دیگری برابر باشند آن دو مثلث هم نهشت اند.

حالت های هم نهشتی مثلث های قائم الزاویه

حالت اول ( و ز  )    : اگر وتر و یک زاویه ی حاده ( تند ) از یک مثلث با وتر و یک زاویه ی حاده ( تند ) از مثلث دیگری برابر باشند آن دو مثلث هم نهشت اند .

حالت دوم ( و ض )  : اگر وتر و یک ضلع زاویه ی قائمه از یک مثلث با وتر و یک ضلع زاویه ی قائمه از مثلث دیگری برابر باشند آن دو مثلث هم نهشت اند .

 

  برای حل مسائل ابتدا فرض و حکم را مشخص نموده و سپس برای جواب مسئله باید از فرض به حکم برسیم.

در این میان باید از استدلال های منطقی استفاده کنیم مانند استفاده از هم نهشتی ، فیثاغورس ، خطوط موازی و مورب و … در این صورت مسئله به آسانی حل می شود در واقع از فرض استفاده شده و به حکم رسیده ایم

 

در هر متوازی الاضلاع ____زاویه های_____ روبه رو، مساوی اند.

درس چهارم: حل مسئله در هندسه

 

برای حل مسائل هندسی، راه حل کلیّ وجود ندارد؛ امّا می توان مراحلی را مشخص کرد که برای حل مسئله ی هندسه، توصیه می شود.

 

قدم های حل مسئله

۱ صورت مسئله را به دقت بخوانید و مفاهیم تشکیل دهنده ی آن را بشناسید.

 

۲ اگر مسئله فاقد شکل است، با توجه به صورت مسئله، یک شکل مناسب برای آن رسم کنید.

 

۳ داده های مسئله(فرض) و خواسته های آن (حکم)را تشخیص دهید و در یک جدول بنویسید .

 

۴ برای رسیدن از فرض به حکم، راه حلی پیدا کنید. روش های مختلفی برای این کار هست که آنها را به مرور می آموزید.

یکی از راه های اثبات برابری دو پاره خط، استفاده از مثلث های هم نهشت است.

 

نکته :

در یک دایره اگر دو کمان برابر باشند، وترهای نظیر آنها با هم برابرند و اگر دو وتر برابر باشند، کمان های نظیر آنها نیز با هم برابرند.

درس پنجم: شکل های متشابه

هرگاه در دو چندضلعی همه ی ضلع ها به یک نسبت تغییر کرده باشد (کوچک یا بزرگ شده، یا بدون تغییر باشد) و اندازه ی زاویه ها تغییر نکرده باشد، آن دو چند ضلعی با هم متشابه اند.

تشابه را با علامت ∼ نشان می دهیم .

 

 

به نسبت دو ضلع متناظر در دو شکل متشابه، نسبت تشابه می گویند.

 

دوست داری فصل دوم ریاضی نهم رو یادبگیری؟

 

سوالات

 

۱ -درستی یا نادرستی عبارت های زیر را مشخص کنید .

الف )محل بر خورد عمود منصف های هر مثلث همواره درون آن قرار دارد .

ب ) رابطه ی فیثا غورس در هر مثلثی ، صادق است .

ج ) اگر دو زاویه مکمل باشند ، آنگاه آن دو زاویه قائمه اند .

د ) فاصله ی هر نقطه روی عمود منصف یک پاره خط از دو سر آن پاره خط یکسان است .

۲ – آیا مجموع زاویه های خارجی هر مثلث ۳۶۰ درجه است ؟ چرا ؟

 

۳ – ثابت کنید هر نقطه روی نیمساز یک زاویه از دو ضلع آن زاویه به یک فاصله است . ( منظور فاصله ی عمودی است )

 

۴ -دو ضلع یک مثلث ۶ و ۸ سانتی متر است . ضلع سوم این مثلث کدام یک نمی تواند باشد .

الف ) ۸

ب ) ۱۰

ج ) ۱۲

د ) ۱۴

۵ – نشان دهید در هر مثلث متساوی الساقین فاصله ی هر نقطه دلخواه روی نیمساز زاویه ی راس ، از دو قاعده به یک اندازه است .

 

۶ – دو مثلث متساوی الاضلاع متشابه هستند و نسبت تشابه آن ها ۰/۷۵ است . اگر اندازه ضلع یکی از آن ها ۱۲ باشد ، اندازه ی ضلع دیگر مثلث چقدر است ؟به نظر شما این سوال چند جواب دارد ؟

سوال 1: کدام دو شکل همواره متشابه نیستند؟

پاسخ شما نادرست است گزینه ی یک درست است.

سوال 2: اگر دو مستطیل متشابه باشند و طول مستطیل کوچک ۷ سانتی متر باشد، نسبت تشابه آنها ۱ به ۸ باشد طول مستطیل بزرگ چقدر است؟

پاسخ شما اشتباه است گزینه ی چهار جواب درست است.

سوال 3: خواسته ی مسئله در کدام گزینه است؟

پاسخ شما اشتباه است گزینه ی دو درست است.

سوال 4: استدلالی که به نتیجه درست ختم شود در کدام گزینه معنی شده است ؟

پاسخ شما اشتباه است گزینه سه درست است.

سوال 5: دو مثلث متساوی الاضلاع متشابه اند اگر مثلث بزرگ دارای ضلع های ۶ سانتی متر باشد و نسبت تشابه ۵ به ۱۲ باشد ضلع مثلث کوچک چقدر است؟

پاسخ شما اشتباه است گزینه دو درست است.

بعدی

 

جزوه ی فصل سوم ریاضی نهم

 

محصول فصل سوم ریاضی نهم ( استدلال و اثبات در هندسه ) در لینک زیر

اسلاید های آموزشی فصل سوم پایه ی نهم

 

فیلم های این فصل را در صورت خرید اسلاید ها به رایگان دریافت نمایید .

لینک اول استدلال کردن

لینک دوم تشخیص فرض و حکم

لینک سوم اثبات در هندسه

لینک چهارم تشابه

 

 

مقاله را پرینت بگیرید یا اگر می پسندید در شبکه های اجتماعی انتشار دهید

نوشته های مرتبط:

عبارت های گویا

عبارت های گویا درس اوّل: معرفی و ساده کردن عبارتهای گویا...

توان و ریشه

فصل چهارم توان و ریشه درس اول : توان صحیح...

اعداد حقیقی

فصل دوم ریاضی نهم   اعداد حقیقی درس اول :...

Comments (13)

سلام
من مبحث تشابه یاد نگرفتم
همون دو ضلع متناظر و میگی خیلی برای من سخت بود میشه راحت تر بگی ممنون میشم
شکل متشابه رو فهمیدم شکلی که زاویه ها مثل هم باشد فقط اندازه ضلع ها به یک اندازه ثابت تغییر کرده باشد
حالا تشابه=——>به نسبت دو ضلع متناظر میگویند خب یعنی چی من اینو نمیفهمم میشه بگی
ممنون

پاسخ

    لطفا فایل مربوط به مبحث استدلال و اثبات در هندسه را تهیه نمایید مبحث گسترده ای است و در اینجا امکان توضیح وجود ندارد

    پاسخ

      چجوری بخرم؟
      من کارت ندارم که رمز دوم داشته باشه
      بجای فروختی بهمون دسترسی دانلود کردن بده

      ممنون مهندس فرهمند

      پاسخ

        برای این اسلاید ها هفته ها زمان گذاشته شده است شما شاید بتوانید فایل های رایگان را با سرچ در اینترنت پیدا کنید

        پاسخ

لطفا مبحث فیزیک علوم نهم هم بزارید ممنون میشم
البته فرا کلاسی هم عمل کنید مثل قد مطلق مثل مکان مقدس میمونه
ممنوننننننننننننننننننننننننننننننن از مطالب خوب و اموزنده

مهندس فرهمند من احساس میکنم هم کلاس خودمی خخخخخخ

پاسخ

آفرین

پاسخ

با سلام جواب های سوالات
۱
الف)نادرست
ب)نادرست
ج) نادرست
د) درست
۲
این سوال نیاز به نماد ریاضی دارد ولی من نمیتونم اینجا رو به نماد ریاضی نشان بدم اما میتوانم توضیح بدم:
یک مثلثی را رسم میکنیم که شامل A,B,Cباشد تجربه ثابت کرده که زاویه داخلی هر مثلث برابر ۱۸۰ درجه میباشداگر هر زاویه داخلی را در ۱۸۰ کم کنیم زاویه خارجی بدست می اید اگه با هم جمع کنیم ۳۶۰ درجه خواهم شد
۳
بازم نیاز به شکل دارد توضیح:
یک مثلث همنهشتی ایجاد میشود با حالت (ز.و) پس مشخصه که باهم دیگر برابر است
۴
گزینه الف
سوال ۵ و ۶ برای من سخت بود لطفا راهنمایی کنید
ممنون از مطالب اموزنده خوبتون
تشکر از فرهمند

پاسخ

    لطفا زود تر جواب بدین ممنون میشم

    -۲۰-

    پاسخ

    با سلام و سپاس از جواب های شما
    سوال ۲ را با تجربه نمی توان نتیجه گرفت باید بدانید که مجموع هر زاویه خارجی و داخلی ۱۸۰ درجه است و سه تا در مثلث وجود دارد که جمع آنها ۵۴۰ درجه است که منهای ۱۸۰ درجه مجموع زوایای داخلی ( که خود با توجه به خطوط موازی و مورب قابل اثبات است ) برابر ۳۶۰ درجه می شود.
    جواب سوال ۵ در اسلاید ها موجود است
    سوال ۶ هم جواب می تواند ۱۶ و یا ۹ باشد چون مشخص نکرده ۱۲ ضلع کدام مثلث است.

    پاسخ

      سوال دو میدونم اما دارم از دانسته های منطقی قبلی استفاده میکنم
      خب
      میگم سوال ۶ اصلا نفهمیدم

      پاسخ

چهار ارتفاع دارد

پاسخ
طراحی سایت
طراحی سایتسئواجاره ویلا و فروش ویلا شمالسرویس و تعمیر کولر گازیاجاره ویلافروش ویلااجاره ویلافروش ویلاویلا شمالویلا زیباکنار
X